Cecha podzielności przez 2:
liczba jest podzielna przez 2, gdy jej ostatnia cyfra jest podzielna przez 2 lub jest równa 0 (liczba jest wtedy parzysta) np.:
208 ,1068 , 2067710
Cecha podzielności przez 3:
liczba jest podzielna przez 3, gdy suma jej cyfr dzieli się przez 3 np.:
36
453
1680
3 + 6 = 9 --- 9 = 3 * 3
4 + 5 + 3 = 12 --- 12 = 4 * 3
1 + 6 + 8 + 0 = 15 --- 15 = 5 * 3
Cecha podzielności przez 4:
liczba jest podzielna przez 4, gdy dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę , która jest podzielna przez 4 np.:
1016 , 6084 , 2464
Cecha podzielności przez 5:
liczba jest podzielna przez 5, gdy ostatnią cyfrą jest 0 lub 5 np.:
40, 1055, 450
Cecha podzielności przez 6:
liczba jest podzielna przez 6, gdy jednocześnie jest podzielna przez 2 i przez 3.np.:
3252 --- 3 + 2 + 5 + 2 = 12 --- 12 : 3 = 4 , więc jest podzielna przez 3
3252 --- ma na końcu liczbę podzielną przez 2, więc jest podzielna przez 2
Już wiemy że liczba 3252 jest podzielna przez 6 ponieważ dzieli się przez 3 i przez 2 jednocześnie.
Cecha podzielności przez 7:
I METODA W zapisie dziesiętnym danej liczby podstawę 10 zastępujemy przez 3. Odczytujemy więc liczbę w ten sposób jakby napisana była w systemie trójkowym. Nie uwzględniając faktu, że w tym układzie nie ma innych cyfr poza 0,1 i 2 np.:
5236
5 * 33 + 2 * 32 + 3 * 31 + 6 * 30 = 135 + 18 + 9 + 6 = 168
168 : 7 = 24
II METODA Przykład liczba 4781 . W tej liczbie liczba pełnych setek wynosi 47. Mnożymy liczbę setek przez 2 i otrzymujemy 47 * 2 = 94 . Do sumy dodajemy resztę liczby czyli dziesiątki i jedności czyli 94 + 81. Obliczamy sumę 94 + 81 = 175. Liczba 175 jest podzielna przez 7, więc liczba 4781 jest też podzielna przez 7.
III METODA
Aby dowiedzieć się czy liczba dzieli się przez 7 skreślamy jej ostatnie 3 cyfry i od tak powstałej liczby odejmujemy skreśloną. Jeżeli różnica dzieli się przez 7 to dotyczy to także liczby wyjściowej np.:
458094
458 - 94 = 364
364 jest podzielna przez 7, więc 458094 jest też podzielna przez 7.
Jeżeli różnica jest liczbą ujemną to dzielimy wartość bezwzględną przez 7 np.:
382788
382 - 788 = -406
|-406| = 406 --- 406 : 7 = 58
Liczba 382788 jest podzielna przez 7.
Cecha podzielności przez 8:
Cecha podzielności przez 8:
liczba jest podzielna przez 8 gdy liczba utworzona z kolejnych trzech ostatnich cyfr danej liczby dzieli się przez 8 np.:
515464 ; 464 : 8 = 58 , więc liczba 515464 jest podzielna przez 8
254776 ; 776 : 8 = 97 , więc liczba 254776 jest podzielna przez 8
Cecha podzielności przez 9:
liczba jest podzielna przez 9 gdy suma jej cyfr dzieli się przez 9.
63
891
5886
6 + 3 = 9 --- 9 = 9 * 1
8 + 9 + 1 = 18 --- 18 = 9 * 2
5 + 8 + 8 + 6 = 27 --- 27 = 9 * 3
Cecha podzielności przez 10:
Liczba jest podzielna przez 10 jeżeli w rzędzie jedności ma cyfrę 0.
Przykłady: 450, 5420, 67600
Cecha podzielności przez 11:
I METODA Jeżeli różnica pomiędzy sumą cyfr stojących na miejscach nieparzystych licząc od prawej i sumą cyfr na miejscach parzystych jest liczbą podzielną przez 11 to liczba jest podzielna przez 11.
71973
(3 + 9 + 7) - (7 + 1) = 19 - 8 =11
11 jest liczbą podzielną przez 11 więc liczba 71973 jest też podzielna przez 11.
Gdy różnica wynosi 0 liczba jest też podzielna przez 11.
Zawsze od większej sumy odejmujemy mniejszą.
II METODA Przykład : 63294
Skreślamy 3 ostatnie cyfry i odejmujemy od powstałej liczby , które skreśliliśmy.
63 - 294 = -231
|-231| : 11= 21
Różnica jest podzielna, więc liczba 85527 jest też podzielna przez 11.
Cecha podzielności przez 12:
liczba jest podzielna przez 12, gdy jednocześnie jest podzielna przez 3 i przez 4.np.:
5496
96 : 4 = 24 ; liczba 5496 jest podzielna przez 4
5+4+9+6 = 24 --- 24 : 3 = 8 ; liczba 5496 jest podzielna przez 3
liczba 5496 jest jednocześnie podzielna przez 3 i przez 4, więc jest podzielna przez 12
Cecha podzielności przez 13:
Przykład : 85527
Skreślamy 3 ostatnie cyfry i odejmujemy od powstałej liczby , które skreśliliśmy.
85 - 527 = -442
|-442| : 13= 34
Różnica jest podzielna, więc liczba 85527 jest też podzielna przez 13.
Cecha podzielności przez 18:
liczba jest podzielna przez 12, gdy jednocześnie jest podzielna przez 2 i przez 9.np.:
8856
6 : 2 = 3 ; liczba 8856 jest podzielna przez 2
8+8+5+6 = 27--- 27 : 9 = 3 ; liczba 8856 jest podzielna przez 9
liczba 8856 jest jednocześnie podzielna przez 2 i przez 9, więc jest podzielna przez 18
Cecha podzielności przez 25:
liczba jest podzielna przez 25 jeżeli jej dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę: 25, 50, 75
lub są zerami.
Przykłady: 2700, 150, 375, 234 650
ZAAWANSOWANE
Cecha podzielności przez 7 Cecha podzielności przez 7 nie jest tak prosta jak w przypadkach podzielności przez 2, 4, 3, 9, 25 itd. Najlepiej i najłatwiej jest podzielić daną liczbę bezpośrednio przez 7, niż sięgać po regułę. Podzielność przez 7 związana jest z kongruencją (podzielnością modulo - inaczej przystawania) liczb.
Dwie liczby przystają do siebie modulo m (wg modułu m), jeżeli różnica (a - b) dzieli się przez m. Przykładowo 26 i 12 są przystające mod 7, ponieważ ich różnica 26 - 12 - 14 jest liczbą podzielna przez 7, czyli 26:7 i 12:7 dają jednakowe reszty.
Każda liczba wielocyfrowa może być przedstawiona w postaci wielomianu uporządkowanego wg potęg liczby 10, np.:
426 738 = 4*105+2*104+6*103+ 7*102+3*101+8*100
Rozpatrzmy teraz kongruencję poszczególnych potęg liczby 10 wg modulo 7. Tu stosuje się w arytmetyce skrócony zapis przystawania mod, tzw. znaku kongruencji:
100≡ 71, bo 100=1, bo 1 : 7=0 r1 (r oznacza resztę z dzielenia)
101≡ 73, bo 10 : 7=1 r3
102≡ 72, bo 100 : 7=14 r2
103≡ 76, bo 1000 : 7=142 r6
itd. Podobnie wykazać można :
104≡ 74
105≡ 75
106≡ 71
107≡ 73
Badając dalsze potęgi liczby 10 stwierdzamy, że ciąg liczb 1, 3, 2, 6, 4, 5 będzie się powtarzał, jest to ciąg charakterystyczny dla dzielnika 7.
Na podstawie własności kongruencji można teraz podać regułę podzielności liczb przez 7.
Zbadajmy dla przykładu, czy liczba 426 738 dzieli się przez 7.
8*1=8 8- (1*7) =1
3*3 =9 9-(1*7) = 2
7*2=14 14- (2*7) = 0
6*6 = 36 36 - (5*7)=1
2*4 =8 8-(1*7) = 1
4*5 =20 20- (2*7) = 6
Obliczamy sumę iloczynów poszczególnych cyfr badanej liczby i cyfr ciągu charakterystycznego:
8*1 + 3*3 + 7*2 + 6*6 + 2*4 + 4*5 = 95
oraz sumę otrzymanych reszt;
1 +2 +0 +1 + 1 +6 = 11
Ani liczba 95, ani też 11 nie dzieli się przez 7, więc również liczba 426 738 nie dzieli się przez 7.
A oto inny przykład.
WeĄmy liczbę 1 620 941. Znowu napiszmy w słupku jej cyfry od strony prawej ku lewej i pomnóżmy przez liczby ciągu charakterystycznego oraz obliczmy odpowiednie reszty:
1*1 = 1 1-(0*7)=1
4*3 = 12 12-(1*7)=5
9*2= 18 18-(2*7)=4
0*6 = 0 0-(0*7)=0
244 = 8 8-(1*7)=1
6*5 =30 30-(4*7)=2
1*1 = 1 1-(0*1)=1
Suma iloczynów wynosi teraz 70, a suma reszt 14. Obydwie te liczby dzielą się przez 7, zatem liczba 1 620941 dzieli się przez 7. W razie niepodzielności danej liczby przez 7, przy tym sposobie badania wiemy, jaka jest reszta; np. reszta liczby 426738 wynosi 95 minus największa krotność 7, czyli 95-7*13 =4 (11-7 =4)
Cecha podzielności przez 11
1 = 100 daje resztę 1 z dzielenia przez 11
10 = 101 daje taką samą resztę z dzielenia przez 11 jak -1
100 = 102 daje taką samą resztę z dzielenia przez 11 jak -1×(-1) = 1
i dalej reszty z dzielenia przez 11 potęg 10 powtarzają się cyklicznie (okresowo).
x = as×10s + as-1×10s-1 + ...+a2×100+a1×10+a0 daje taką samą resztę z dzielenia przez 11, jak znakozmienna suma a0 - a1 + a2 - ...+(-1)s-1as-1 + (-1)sas. Zatem
liczba x daje taką samą resztę z dzielenia przez 11, jak różnica
sumy jej cyfr z rzędów parzystych i sumy jej cyfr
z rzędów nieparzystych.
Na przykład 1001 dzieli się przez 11 i 1000000001 dzieli się przez 11.
Cecha podzielności przez 13
1 daje resztę 1
10 daje taką samą resztę, jak -3
102 daje taką samą resztę, jak (-3)2 = 9
czyli taką samą resztę, jak -4
103 daje taką samą resztę, jak (-3)×(-4) = 12
czyli taką samą resztę, jak -1
1044daje taką samą resztę, jak (-3)×(-1)
czyli taką samą resztę, jak 3
105 daje taką samą resztę, jak (-3)×3 = -9
czyli taką samą resztę, jak 4
106 daje taką samą resztę, jak (-3)×4
czyli taką resztę 1.
Oczywiście dalej reszty powtarzają się okresowo. Rozumując jak poprzednio, stwierdzamy, że
aby obliczyć resztę z dzielrnia x przez 13, trzeba - zaczynając od rzędu jedności - mnożyć jej cyfry przez wyrazy ciągu okresowego 1,-3,-4,-1,3,4,1,-3,-2,-1,3,4,1,..., dodać do siebie obliczone iloczyny i obliczyć resztę z dzielenia tak otrzymanej liczby przez 13.
Np. 1001 daje taką samą resztę, jak 1×1-3×0-4×0+(-1)×1 = 0, czyli 1001 dzieli się przez 13. Podobnie 1000000001 dzieli się przez 13.
Wygenerowano: 2003-04-01
matematyka
darmowe wypracowania i ściągi - szkoła i studia