Przykładami wyrażeń algebraicznych są:
- liczba 3
- suma a i b a + b
- różnica a i b a - b
- iloczyn a i b ab
- iloraz a przez b a : b
Litery wystepujące w wyrażeniach algebraicznych nazywamy zmiennymi i możemy je zastępować liczbami. Jednak nie zawsze możliwe jest podstawienie każdej liczby. Na przykład w wyrażeniu a : b nie możemy zamiast litery b podstawić 0, bo nie wolno dzielić przez zero.
Do wyrażeń algebraicznych możemy stosować działania, otrzymując następne bardziej skomplikowane wyrażenia. Jednak wtedy wyrażenia, na których wykonywujemy nowe działanie, bierzemy w nawias. Na przykład iloczyn sumy a i b przez różnicę x i y jest wyrażeniem
(a + b)(x - y),
a różnica tych wyrażeń jest wyrażeniem
a + b - (x - y).
W drugim przypadku wyrażenia a + b nie wzięliśmy w nawiasy, ponieważ nie zmieni to kolejności wykonywania działań.
Czasem mamy do czynienia z dwoma wyrażeniami połączonymi znakiem równości. Na przykład 2x + 3 = 7 lub a + b = b + a. Mówimy wtedy, że mamy do czynienia z równością wyrażeń algebraicznych albo po prostu z równością.
Równość algebraiczna nie musi być prawdziwa dla wszystkich wartości liczbowych zmiennych. Równość 3x + 4 = 10 jest prawdziwa tylko dla x = 2. Równość zapisaną w celu znalezienia tych wartości zmiennych, dla których jest ona prawdziwa, nazywamy równaniem, a poszukiwane wartości zmiennych rozwiązaniami tego równania.
Za pomocą równości algebraicznych zapisywaliśmy wcześniej różne prawa działań na liczbach. W takich wypadkach często się zdarza, że równość jest prawdziwa dla wartości liczb zmiennych. Na przykład równość a + b = b + a jest prawdziwa dla wszystkich wartości liczbowych zmiennych a i b i wyraża prawo przemienności dodawania.
Jednomiany
Iloczyn kilku czynników , z których każdy jest albo liczbą albo literą, nazywamy jednomianem. Przykładami jednomianów są : 5; 2,4 ; c2b. W szczególności liczba jest także jednomianem. Jednomiany na ogół przedstawia się w postaci jak najprostszej. Czynnosć tą nazywamy porządkowaniem jednomianu. W tym celu:
1. Jeśli w jednomianie występuje kilka liczb, to zastępujemy je ich iloczynem i zapisujemy na pierwszym miejscu. Iloczyn ten nazywamy współczynnikiem liczbowym jednomianu lub krótko współczynnikiem jednomianu. Zatem
2a * 3b = 6ab , x * 4 = 4x ; (-2)x(-4)y = 8xy
Współczynnikami tych jednomianów są odpowiednio liczby 6, 4 oraz 8
2.Jeśli współczynnik jednomianu jest liczbą ujemną, to nie musimy ujmować go w nawiasy. Na przykład (-9)ac = -9ac. Zamiast współczynnika (-1) piszemy na początku jednomianu znak - . Na przykład, (-1)xyz = -xyz. Jeżeli w jednomianie nie występuje żadna liczba, to jego współczynnikiem jest 1. Na przykład a = 1a ; xy = 1xy.
3. Jeśli w jednomianie występuje kilka czynników ze znakiem - , to korzystając z równości -x=(-1)x możemy jednomian przekształcić w taki sposób, aby żaden z czynników poza współczynnikiem jednomianu nie występował z tym znakiem . Wyjątkiem jest tutaj, omówiony w poprzednim punkcie, przypadek współczynnika -1. Na przykład a(-b)c(-d) = a(-1)bc(-1)d = 1abcd = abcd
4.Iloczyn dwóch jednakowych czynników na przykład x * x, oznaczamy symbolem x2 oraz nazywamy drugą potęgą lub kwadratem x. Iloczyn x * x * x oznaczamy symbolem x3 i nazywamy trzecią potęgą lub sześcianem x. Podobnie iloczyn x * x * x* x oznaczamy symbolem x4 i nazywamy czwartą potęgą x itd. Korzystając z tego oznaczenia, możemy uprościć zapis jednomianu. Na przykład 6aaabb = 6a3b2
Wyrażenie x nazywamy pierwszą potęgą i oznaczamy je wtedy x1 . Jednomian będący iloczynem litery przez liczbę, nazywamy jednomianem stopnia pierwszego.
5.Zauważmy w końcu, że jeśli którykolwiek czynnik jednomianu jest zerem , to jednomian jest zerem ( jest równy liczbie zero ). Na przykład -0,2x * 0 * y =0
Wartość liczbową jednomianu dla danych wartości liczbowych wszystkich liter jednomianu obliczam, podstawiając w miejsce liter te wartości. Na przykład jednomian 2xy ma dla x= -0,05 oraz y = -10 wartość 2xy = 2 * (-0,05) * (-10) = 1
Suma algebraiczna
Wyrażenia algebraiczne nazywamy sumami algebraicznymi, jeżeli są sumami lub różnicami jednomianów. Na przykład :
2a + 3b +4c
jest sumą algebraiczną. Składniki sumy algebraicznej można przestawiać, ale łącznie ze znakami. Na przykład :
a- 2b +3c - 4d = a + 3c - 2b - 4d = 3c - 2b + a - 4d
Ponieważ odejmowanie jest tym samym co dodawanie liczby przciwnej a-b = a+ (-b) , więc sumę algebraiczną można zdefiniować następująco :
SUMĄ ALGEBRAICZNĄ NAZYWAMY SUMĘ JEDNOMIANÓW!!!
Dodawanie i odejmowanie sum algebraicznych
Aby dodać do danego wyrażenia sumę algebraiczną, dopisujemy do niego po kolei wszystkie wyrazy tej sumy.
Na przykład a + (b+c) = a+ b + c
Aby odjąć od pewnego wyrażenia sumę algebraiczną , dopisujemy do tego wyrażenia po kolei wszystkie wyrazy sumy ze zmienionymi znakami.
Na przykład a - (b-c - d +e) = a - b +c + d -e
Jeżeli przed nawiasem występuje znak + to opuszczamy nawias bez zmiany znaków wewnątrz nawiasu.
Na przykład a + b + (c- d) = a+ b +c -d
Jeżeli przed nawiasem zaś stoi znak - to opuszczając nawias zmieniamy znaki każdego wyrazu wewnątrz nawiasów.
Na przykład: a+ b - (c+ d - e) = a + b - c - d + e
Mnożenie sum algebraicznych przez liczbę
Według prawa rozdzielności mnożenia względem dodawania (a + b) c = ac =bc zamiast mnożyć sumę (wynik dodawania) dwóch liczb przez trzecią liczbę, można każdy składnik sumy oddzielnie pomnożyć przez tę liczbę i otrzymane iloczyny dodać.
Na podstawie tej równości można przekształcić w podobny sposób iloczyn sumy algebraicznej przez liczbę. Na przykład w iloczynie (a + b - c) d można czynnik a + b - c potraktować jako sumę dwóch liczb (a +b ) i (-c) i zastosować prawo rozdzielności :
(a + b - c)d = [(a+b) + (-c)]d = (a+b) d + (-c)d = ad + bd - cd
Iloczyn sumy algebraicznej przez liczbę równa się sumie iloczynów wszystkich wyrazów sumy przez tą liczbę.
DZIELENIE SUMY ALGEBRAICZNEJ PRZEZ LICZBĘ
Aby podzielić sumę algebraiczną przez liczbę możemy
1. pomnożyć tę sumę przez odwrotność liczby na przykład
(a +b) :2 = (a+ b ) * 1/2 = 1/2 (a+b)
2. pomnożyć każdy składnik przez odwrotność tej liczby na przykład :
(a+b) :2 = 1/2 a + 1/2 b
3.podzielić każdy składnik tej sumy przez tę liczbę na przykład :
(a+b) :2 = a:2 + b:2
4.dzielenie zapisywać za pomocą kreski ułamkowej
Mnożnie sum algebraicznych
Gdy dana jest pewna równość tożsamościowa np: ab =ba i podstawimy w niej zamiast b jakieś inne wyrażenie np. c - d, otrzymamy równość
a(c-d) = (c-d)a, która jest także tożsamością . Gdy bowiem nadamy w niej literom a,c ,d jakiekolwiek wartości liczbowe np. a=5, c=7 , d=3, otrzymamy tę samą równość prawdziwa, co przy podstawieniu a=5, b=7-3 do równości poprzedniej.
Napiszmy tożsamość
(a-b+c) m =am - bm +cm
i podstawmy w niej zamiast m wyrażenie d - e ; otrzymamy tożsamość
(a-b+c) (d - e ) = a(d - e) - b( d - e) + c (d - e) .
Podobną równość możemy napisać dla jakichkolwiek dwóch sum algebraicznych. Zatem : Iloczyn dwóch sum algebraicznych równa się sumie iloczynów jednej z danych sum przez poszczególne wyrazy drugiej z nich. Prawą stronę ostatniej równości możemy dalej przekształcić :
a(d-e ) - b(d- e) + c (d- e) = ad - ae - bd + be +cd -ce.
Z tej i z poprzedniej równości wynika, że :
(a - b +c)( d- e) = ad- ae - bd + be +cd - ce
ABY POMNOŻYĆ DWIE SUMY ALGEBRAICZNE, MNOŻYMY KAŻDY WYRAZ JEDNEJ SUMY PRZEZ KAŻDY WYRAZ DRUGIEJ I DODAJEMY OTRZYMANE ILOCZYNY!!!
Wygenerowano: 2004-09-05
matematyka
darmowe wypracowania i ściągi - szkoła i studia